vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

1. Vectơ chỉ phương của đàng thẳng

Định nghĩa : 

Bạn đang xem: vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng liền mạch \(∆\) nếu \(\vec{u}\) ≠ \(\vec{0}\) và giá bán của \(\vec{u}\) song tuy vậy hoặc trùng với \(∆\)

Nhận xét :

- Nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng liền mạch \(∆\) thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là 1 trong những vectơ chỉ phương của \(∆\) , vì thế một đàng thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

- Một đường thẳng liền mạch trọn vẹn được xác lập nếu như biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng liền mạch cơ.

2. Phương trình thông số của đàng thẳng

- Phương trình thông số của đường thẳng liền mạch \(∆\) trải qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và nhận vectơ \(\vec{u}  = (u_1; u_2)\) thực hiện vectơ chỉ phương là :

\(∆\) : \(\left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\)

-Khi \(u_1≠ 0\) thì tỉ số \(k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\) được gọi là thông số góc của đường thẳng liền mạch.

Từ phía trên, tao sở hữu phương trình đường thẳng liền mạch \(∆\) trải qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và sở hữu thông số góc k là:

\(y – y_0 = k(x – x_0)\)

Chú ý: Ta vẫn biết thông số góc \(k = \tan α\) với góc \(α\) là góc của đường thẳng liền mạch \(∆\) phù hợp với chiều dương của trục \(Ox\)

3. Vectơ pháp tuyến của đàng thẳng 

Định nghĩa: Vectơ \(\vec{n}\) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng liền mạch \(∆\) nếu \(\vec{n}\)  ≠ \(\vec{0}\) và \(\vec{n}\) vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\)

Nhận xét:

- Nếu \(\vec{n}\)  là 1 trong những vectơ pháp tuyến của đường thẳng liền mạch \(∆\) thì k\(\vec{n}\) \((k ≠ 0)\) cũng là 1 trong những vectơ pháp tuyến của \(∆\), vì thế một đường thẳng liền mạch sở hữu vô số vec tơ pháp tuyến.

- Một đường thẳng liền mạch được trọn vẹn xác lập nếu như biết một và một vectơ pháp tuyến của chính nó.

4. Phương trình tổng quát lác của đàng thẳng

Định nghĩa: Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) ko bên cạnh đó vì như thế \(0\), được gọi là phương trình tổng quát lác của đường thẳng liền mạch.

Trường ăn ý quánh biết:

+  Nếu \(a = 0 => hắn = \dfrac{-c}{b};  ∆ // Ox\) hoặc trùng Ox (khi c=0)

+ Nếu \(b = 0 => x = \dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy\) hoặc trùng Oy (khi c=0)

+ Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 =>  ∆\) trải qua gốc tọa độ

+ Nếu \(∆\) hạn chế \(Ox\) bên trên \(A(a; 0)\) và \(Oy\) bên trên \(B (0; b)\) thì tao sở hữu phương trình đoạn chắn của đường thẳng liền mạch \(∆\) :

\(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)

5. Vị trí kha khá của hai tuyến phố thẳng

Xét hai tuyến phố trực tiếp  ∆₁ và ∆₂ 

Xem thêm: tả về gấu bông lớp 4

có phương trình tổng quát lác theo lần lượt là :

a₁x+b₁y + c₁ = 0 và a₂x+b₂y +c₂ = 0

Điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)) là vấn đề công cộng của  ∆₁ và ∆₂  khi và chỉ khi \((x_0 ;y_0)\) là nghiệm của hệ nhì phương trình:

(1)  \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\) 

Ta sở hữu những tình huống sau:

a) Hệ (1) sở hữu một nghiệm: ∆₁ cắt ∆₂

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆₁ // ∆₂

c) Hệ (1) sở hữu vô số nghiệm: ∆₁ \( \equiv \)∆₂

6.Góc thân thuộc hai tuyến phố thẳng

Hai đàng thẳng ∆₁ và ∆₂ cắt nhau tạo nên trở thành 4 góc.

Nếu ∆₁ không vuông góc với ∆₂ thì góc nhọn vô số tư góc này được gọi là góc thân thuộc hai tuyến phố thẳng ∆₁ và ∆₂.

Nếu ∆₁ vuông góc với  ∆₂ thì tao rằng góc thân thuộc ∆₁ và ∆₂ bằng  90⁰.

Trường hợp  ∆₁ và ∆₂ song tuy vậy hoặc trùng nhau thì tao quy ước góc giữa  ∆₁ và ∆₂ bằng 0⁰.

Như vậy góc thân thuộc hai tuyến phố trực tiếp luôn luôn nhỏ thêm hơn hoặc bằng  90⁰  

Góc thân thuộc hai tuyến phố thẳng ∆₁ và ∆₂ được kí hiệu là \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\)

Cho hai tuyến phố thẳng:

∆₁: a₁x+b₁y + c₁ = 0 

∆₂: a₂x+b₂y + c₂ = 0

Đặt \(\varphi\) = \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\)

\(\cos  \varphi\) = \(\dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

Chú ý:

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\) \( \Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0\)

+ Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình hắn = k₁ x + m₁ và hắn = k₂ x + m₂ thì  

\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{k_2} =  - 1\)

7. Công thức tính khoảng cách từ là một điểm đến lựa chọn một đàng thẳng

Trong mặt mày phẳng lì \(Oxy\) mang lại đường thẳng liền mạch \(∆\) sở hữu phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\)).

Xem thêm: sinh năm 1963

Khoảng cơ hội kể từ điểm \(M_0\) cho tới đường thẳng liền mạch \(∆\) kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được xem vì như thế công thức

\(d(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

Loigiaihay.com