Seitenhalbierende

Eine Seitenhalbierende (auch Schwerlinie oder Median) in einem Dreieck ist eine Strecke, die eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Die Seitenhalbierenden gehören zusammen mit den Mittelsenkrechten (Streckensymmetralen), Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) und den Höhen zu den klassischen Transversalen der Dreiecksgeometrie.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundeigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Seitenhalbierende teilt die Dreiecksfläche in zwei Dreiecke gleicher Höhe bzgl. der gemeinsamen Grundseite und damit auch gleicher Fläche. Mittels Scherung parallel zur Seitenhalbierenden lassen sich die beiden Teildreiecke unter Beibehaltung ihres Flächeninhalts in eine achsensymmetrische Form überführen. Diese Scherung lässt die Verteilung der Flächenelemente innerhalb der Teildreiecke und damit das Drehmoment der einzelnen Dreiecksflächen bezogen auf die gemeinsame Grundseite unverändert. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind somit Schwerlinien und schneiden sich in einem Punkt, dem so sánh genannten Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser teilt jede der Seitenhalbierenden yên ổn Verhältnis 2:1. Dabei ist die Strecke zwischen Schwerpunkt und Ecke länger als die Strecke zwischen Schwerpunkt und Seitenmittelpunkt.^[1]

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Die Längen der zur Seite a, b und c gehörenden Seitenhalbierenden berechnet man mit:^[1]

Zusätzliche Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entstehung des Median-Dreiecks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das aus den Seitenhalbierenden eines Dreiecks gebildete Median-Dreieck ist -mal so sánh groß wie das ursprüngliche Dreieck.^[2]^[3]

Diese Eigenschaft lässt sich yên ổn Wesentlichen in zwei Schritten geometrisch veranschaulichen:

Schritt 1: Spiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Mittelpunkt der Seite a (Figur 1).
Schritt 2: Entstehung des aus den Seitenhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks gebildeten neuen Dreiecks durch geeignete Scherungen von drei der vier gefärbten Teildreiecke (Figur 2).

Flächengleichheiten angrenzender Dreiecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede der Dreiecksseiten FB, bzw. BD, bzw. DF ist gleichzeitig je eine Seitenhalbierende der Dreiecke DAB, bzw. FCD, bzw. BEF.

Xem thêm: cucl2 có kết tủa không

Hieraus folgt, dass alle vier Dreiecke ABF, FBD, CDB und EFD flächengleich sind (Figur 3).^[4]

Geometrische Veranschaulichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entstehung des Median-Dreiecks: Punktspiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Mittelpunkt der Seite a (Figur 1)
Entstehung des Median-Dreiecks: Neues Dreieck durch geeignete Scherungen von drei der vier gefärbten Teildreiecke (Figur 2)
Xem thêm: fecl2 + hcl

Flächengleichheiten angrenzender Dreiecke (Figur 3)

Mediane in Tetraedern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{BBC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}} — Mediane eines Tetraeders mit Schwerpunkt S

In einem Tetraeder bezeichnet man eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Schwerpunkt der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Dreiecksfläche verbindet, als Median des Tetraeders. Die vier Mediane einen Tetraeders schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Tetraeders. Dieser teilt die Mediane in einem Verhältnis von 3:1 (Satz von Commandino).^[5]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: đôi mươi geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, năm ngoái, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 63
Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 5. Auflage. Springer, năm nhâm thìn, ISBN 978-3-662-50323-2, S. 21
Rolf Baumann: Mehr Erfolg in Mathematik: 8. Klasse Geometrie. Mentor, 2008, ISBN 978-3-580-65629-4, S. 29

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eric W. Weisstein: Triangle Median. In: MathWorld (englisch).
Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt beim Dreieck

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

↑ ^a ^b Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: đôi mươi geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, năm ngoái, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 63
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg năm nhâm thìn, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 21
↑ Norbert Hungerbühler: Proof Without Words: The Triangle of Medians Has Three-Fourths the Area of the Original Triangle, Mathematics Magazine (1999), 72:2, 142, DOI:10.1080/0025570X.1999.11996717
↑ Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg năm nhâm thìn, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 22
↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America, năm ngoái, ISBN 978-0-88385-358-0, S. 97–98