quy tắc cộng quy tắc nhân

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là 2 quy tắc đếm cơ bản nhập lịch trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh ko phân biệt được khi nào quy tắc nhân, khi nào dùng quy tắc cộng nhập việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ hỗ trợ tao phân biệt rõ ràng và vận dụng trúng 2 quy tắc này.

PHÂN BIỆT QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN

Quy tắc cộng và quy tắc nhân là 2 quy tắc đếm cơ bản nhập lịch trình Đại số tổ hợp của lớp 11. Tuy nhiên, nhiều học sinh ko phân biệt được khi nào quy tắc nhân, khi nào dùng quy tắc cộng nhập việc giải các bài tập. Chuyên đề này sẽ hỗ trợ tao phân biệt rõ ràng và vận dụng trúng 2 quy tắc này.

Bạn đang xem: quy tắc cộng quy tắc nhân

I. LÝ THUYẾT
1. Quy tắc nhân: 
Nếu một công việc nào đó phải hoàn thành qua n">nn giai đoạn liên tiếp, nhập đó:
Giai đoạn 1 có \(m_1\) cách thực hiện
Giai đoạn 2 có \(m_2\) cách thực hiện

…............
Giai đoạn \(n\) có \(m_n\) cách thực hiện
Khi đó, có: \(m_1m_2...m_n\) cách để hoàn thành công việc đã cho tới.
2. Quy tắc cộng: 
Nếu một công việc nào nó có thể thực hiện theo n">nn phương án sự khác biệt, nhập đó:

Phương án 1 có \(m_1\) cách thực hiện
Phương án 2 có \(m_2\) cách thực hiện

…............
Phương án \(n\) có \(m_n\) cách thực hiện

Khi đó, có:  \(m_1+m_2+...+m_n\) cách để hoàn thành công việc đã cho tới.

Nhận xét:  
Từ định nghĩa của quy tắc cộng và quy tắc nhân bên trên, tao thấy rằng:
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà tao ko thể hoàn thành được công việc (không có kết quả) thì lúc đó tao cần phải sử dụng quy tắc nhân.
+  Nếu bỏ 1 giai đoạn nào đó mà tao vẫn có thể hoàn thành được công việc (có kết quả) thì lúc đó tao sử dụng quy tắc cộng.
Như vậy, với nhận xét này, tao thấy rõ được sự quái gở của 2 quy tắc và ko thể nhầm lẫn việc dùng quy tắc cộng và quy tắc nhân được. Sau phía trên là một số bài tập minh họa:

II. BÀI TẬP
Bài 1:
Từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5\). Lập được từng nào số bất ngờ nhập mỗi trường hợp sau:
1. Số bất ngờ chẵn có 4 chữ số.
2. Số bất ngờ chẵn có 4 chữ số sự khác biệt.
Lời giải:
1. Gọi số bất ngờ thỏa mãn đòi hỏi câu hỏi là \(\overline {abcd} \)
Chọn chữ số \(d\) có 3 cách chọn, 
Chọn chữ số \(a\) có 5 cách chọn, 
Chọn chữ số \(b\) có 5 cách chọn, 
Chọn chữ số \(c\) có 5 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: \(3.5.5.5=375\) (số).
2. Gọi số bất ngờ thỏa đòi hỏi câu hỏi là \(\overline {abcd} \)
-  Nếu \(d=0\)      
Chọn chữ số \(d\) có 1 cách chọn
Chọn chữ số \(a\) có 5 cách chọn
Chọn chữ số \(b\) có 4 cách chọn
Chọn chữ số \(c\) có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: \(1.5.4.3=60\) (số)  (∗)">(∗)(∗)
-  Nếu \(d \ne 0\), có 2 cách chọn chữ số d
Chọn chữ số \(a\) có 4 cách chọn
Chọn chữ số \(b\) có 4 cách chọn
Chọn chữ số \(c\) có 3 cách chọn
Theo quy tắc nhân có: \(2.4.4.3=96\) (số)  (∗∗)">(∗∗)(∗∗)
Từ (∗)">(∗)(∗) và (∗∗)">(∗∗)(∗∗) theo Quy tắc cộng tao có \(60+96=156\) (số)

Bài 2:
Bạn An có 5 nhành hoa hồng sự khác biệt, 4 nhành hoa cúc sự khác biệt, 3 nhành hoa lan sự khác biệt, khách hàng cần chọn rời khỏi 4 bông để cắm vào một lọ hoa, hỏi khách hàng có từng nào cách chọn hoa để cắm sao cho tới hoa nhập lọ phải có đủ cả loại.
Lời giải:
Bài toán xảy rời khỏi 3 trường hợp.
+Trường hợp 1: Chọn 2 bông hồng, 1 bông cúc, 1 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng thứ nhất có 5 cách
-    Chọn 1 bông hồng thứ nhì có 4 cách
-    Chọn 1 bông cúc có 4 cách
-    Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, tao có \(5.4.4.3=240\) cách     (1)
+Trường hợp 2: Chọn 1 bông hồng, 2 bông cúc, 1 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng có 5 cách
-    Chọn 1 bông cúc thứ nhất có 4 cách
-    Chọn 1 bông cúc thứ nhì có 3 cách
-    Chọn 1 bông lan có 3 cách
Theo quy tắc nhân, tao có \(5.4.3.3 = 180\) cách    (2)
+Trường hợp 3: Chọn 1 bông hồng, 1 bông cúc, 2 bông lan.
-    Chọn 1 bông hồng có 5 cách
-    Chọn 1 bông cúc có 4 cách
-    Chọn 1 bông lan thứ nhất có 3 cách
-    Chọn 1 bông lan thứ nhì có 2 cách
Theo quy tắc nhân, tao có \(5.4.3.2=120\) cách    (3)
Từ (1), (2), (3), theo gót quy tắc cộng tao có: \(240+180+120=540\) cách.

Xem thêm: truyện con rồng cháu tiên

Bài 3:
Cho những chữ số  0 , 1 , 2 ,3 ,4 ,5 , 7 ,9 . Lập một vài bao gồm 4 chữ số không giống nhau  kể từ những chữ số bên trên . Hỏi:
a. Có từng nào số chẵn 
b. Có từng nào số xuất hiện chữ số 1
Lời giải:
a. Gọi số vẫn cho tới sở hữu dạng : \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \) (\({a_1} \ne 0;\,\,{a_4}\) là số chẵn)
    - Tìm số những số dạng bên trên bao gồm \(a_1=0\)
    - \(a_4\) có 3 cơ hội lựa chọn , những địa điểm còn sót lại sở hữu \(A_7^3 = 210\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 630 số 
  -  Tìm số những số dạng bên trên tuy nhiên \(a_1=0\)
    - \(a_4\) có 2 cơ hội lựa chọn , những địa điểm còn sót lại có \(A_6^2 = 30\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 60 số 
Vậy số những số chẵn cần thiết lần là : \(630 –60 = 570\) số
b. Gọi số vẫn cho tới sở hữu dạng : \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} \)
-  Tìm số những số dạng bên trên kể cả \(a_1=0\)
Chọn địa điểm cho tới chữ số 1 : sở hữu 4 cơ hội , những địa điểm còn sót lại có \(A_7^3 = 210\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 840 số
- Tìm số những số dạng bên trên mà \(a_1=0\)
\(a_1\) sở hữu 3 cơ hội lựa chọn , những địa điểm còn sót lại sở hữu \(A_6^2 = 30\) cách lựa chọn nên số những số nầy là 90 số
Vậy số những số cần thiết lần là \(840 – 90 = 750\) số (quy tắc cộng)

Bài 4:
Có từng nào cơ hội bố trí khu vực 4 đàn bà và 6 các bạn nam giới ngồi xuống 10 ghế tuy nhiên không tồn tại 2 đàn bà này ngồi cạnh nhau nếu 
a. Ghế chuẩn bị trở nên mặt hàng ngang
b. Ghế chuẩn bị xung quanh 1 bàn tròn trĩnh.
Lời giải:
a. Trước không còn xếp 6 các bạn nam giới nhập địa điểm sở hữu \(6!\) cơ hội bố trí. Xem từng các bạn là 1 vách ngăn tạo nên trở nên 7 địa điểm. Xếp 4 các bạn nhập 7 địa điểm có \(A_7^4\) cách. Vậy sở hữu \(6!A_7^4\) cách
b. Trước không còn xếp 6 các bạn nam giới nhập vòng tròn trĩnh sở hữu \(5!\) cơ hội. Xem từng đàn bà là 1 vách ngăn tạo nên trở nên 6 địa điểm. Xếp 4 đàn bà nhập 6 địa điểm có \(A_6^4\) cách.
Vậy sở hữu \(5!A_6^4\)  cách bố trí.

Bài 5:
Trong một nhóm học viên của lớp sở hữu 8 nam giới và 4 nữ giới. Thầy giáo ham muốn lựa chọn ra 3 học viên nhằm thực hiện trực nhật lớp học tập, nhập ê cần sở hữu tối thiểu một học viên nam giới. Hỏi giáo viên sở hữu từng nào cơ hội lựa chọn. 
Lời giải:
  Gọi \(A\) là tập dượt toàn bộ những cơ hội lựa chọn 3 học viên nhập 12 học viên.
  Gọi \(B\) là tập trung toàn bộ những cơ hội lựa chọn 3 học viên nữ giới.
  Gọi \(C\) là tập trung toàn bộ những cơ hội lựa chọn thoả mãn đòi hỏi câu hỏi.
Ta có \(\left| C \right| = \left| A \right| - \left| B \right|\)  (quy tắc cộng).
Mặt không giống dễ dàng thấy \(\left| A \right| = {C_1}{2^3};\,\,\left| B \right| = C_4^3 \Rightarrow \left| C \right| = {C_1}{2^3} - C_4^3 = 216\)
Vậy sở hữu 216 cơ hội lựa chọn thoả mãn đòi hỏi câu hỏi.

Bài 6:
Với tập \(E = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\) có thể lập được từng nào số bao gồm 5 chữ số phân biệt và :
a) Là số chẵn.
b) Trong số đó sở hữu chữ số 7.
c) Trong số đó sở hữu chữ số 7 và chữ số mặt hàng ngàn luôn luôn là chữ số 1.
Lời giải:
a) Sử dụng kỹ năng và kiến thức về hoạn :
* \({a_5}\) được lựa chọn kể từ tập \(F = \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) Có 3 cơ hội lựa chọn.
* \({a_1};{a_2};{a_3};{a_4}\) là một cỗ phân biệt trật tự được lựa chọn từ \(E\backslash \left\{ {{a_5}} \right\}\) do ê nó là 1 chỉnh ăn ý chập 4 của 6
\( \Rightarrow \) Có \(A_6^4\) cách lựa chọn.
Theo quy tắc nhân, số những số chẵn bao gồm 5 chữ số phân biệt , tạo hình kể từ tập \(E\) bằng :
\(3.A_6^4 = 1080\) số.
b) Chọn 1 địa điểm nhập 5 địa điểm của những chữ số để tại vị chữ số 7
\( \Rightarrow \) sở hữu 5 cơ hội chọn
Bốn địa điểm còn sót lại nhận độ quý hiếm là 1 cỗ phân biệt trật tự được lựa chọn từ \(E\backslash \left\{ 7 \right\}\) do ê nó là 1 chỉnh ăn ý chập 4 của 6
\( \Rightarrow \) Có \(A_6^4\) cách lựa chọn.
Vây, số những số bao gồm 5 chữ số phân biệt, tạo hình kể từ tập dượt \(E\), nhập ê sở hữu chữ số 7, tự : \( \Rightarrow 5.A_6^4 = 1800\) số.
c) Gán \({a_2} = 1 \Rightarrow \) Có một cách chọn
Chọn 1 địa điểm nhập 4 địa điểm của những chữ số để tại vị chữ số 7 ⇒">⇒ Có 4 cơ hội lựa chọn.
 Ba địa điểm còn sót lại nhận độ quý hiếm là 1 cỗ phân biệt trật tự được lựa chọn kể từ \(E\backslash \left\{ {7;1} \right\}\)

 do ê nó là 1 chỉnh ăn ý chập 3 của 5. Suy rời khỏi có \(A_5^3\) cách lựa chọn. Vậy, số những số bao gồm 5 chữ số phân biệt tạo hình kể từ tập dượt \(E\), nhập ê sở hữu chữ số 7 và chữ số hàng trăm ngàn là chữ số 1, tự : \(1.4.A_5^3 = 240\) số.

Bài 7
Cho những số \(0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\)
a) cũng có thể ghi chép được từng nào số sở hữu 4 chữ số không giống nhau? Trong số đó sở hữu từng nào số chẵn? Bao nhiêu số phân chia không còn cho tới 5?
b) Có từng nào số sở hữu 4 chữ số không giống nhau, nhập ê nhất thiết cần xuất hiện chữ số 5.
c) Có bao nhiếu số sở hữu 4 chữ số không giống nhau nhỏ rộng lớn 4000.
Lời giải:
a) Số sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau.
Số cơ hội lựa chọn chữ số mặt hàng nghìn: \(7\) cách.
Số cơ hội chọn 3">33 chữ số còn lại \(A_7^3 = 210\).
Vậy số những số sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau cần thiết lần là:  \(7.210 = 1470\) (số).
* Số những số chẵn sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau.
Vì số cần thiết lần là chẵn nên chữ số tận nằm trong rất có thể là: \(\left\{ {0;2;4;6} \right\}\)
+ Nếu chữ số tận nằm trong không giống \(0\) thì số những số cần thiết tìm:
\(3.6.A_6^2 = 540\) (số).
+ Nếu chữ số tận nằm trong là 0">00 thì số những số cần thiết lần là:
\(1.7.A_6^2 = 210\) (số).
Vậy số những số chẵn có 4">44 chữ số không giống nhau cần thiết lần là:
\(540 + 210 = 750\) (số).
Nhận xét: Tại phía trên việc lần số những số lẻ triển khai thuận tiện rộng lớn đối với việc lần những số chẵn vì vậy so với câu hỏi này tao rất có thể tổ chức lần những số lẻ kể từ ê suy rời khỏi những số chẵn.
Số những số lẻ có 4">44 chữ số không giống nhau là: \(4.6.A_6^2 = 720\) 
Vậy số những số chẵn sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau cần thiết lần là:
\(1470 - 720 = 750\) (số).
* Số những số sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau phân chia không còn cho tới \(5\).
Vì số cần thiết lần phân chia không còn cho tới \(5\) nên chữ số tận nằm trong rất có thể là \(0\) hoặc \(5\).
+ Nếu chữ số tận nằm trong là \(0\) thì số những số sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau phân chia không còn cho tới \(5\) là: \(1.7.A_6^2 = 210\) (số).
+ Nếu chữ số tận nằm trong là \(5\) thì số những số sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau phân chia không còn cho tới \(5\) là: \(1.6.A_6^2 = 180\) (số).
Vậy số những số cần thiết lần sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau phân chia không còn cho tới \(5\) là: \(210 + 180 = 390\) (số)
b) Số cơ hội lựa chọn địa điểm chữ số \(5\) là \(4\)
Số cơ hội lựa chọn \(3\) chữ số còn sót lại (có cả chữ số 0">00 đứng đầu) là \(A_7^3\)
Hơn nữa tao lại có: \(3.C_8^2.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^2.C_3^1 + C_8^1.C_5^1.{C^{32}} = 780\) số sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau nhất thiết xuất hiện chữ số \(5\) và chữ số \(0\) đứng đầu.
 Vậy số những số có\(4\) chữ số không giống nhau nhât thiết xuất hiện chữ số \(5\) là:
\(4.A_7^3 - 3.A_6^2 = 840 - 90 = 750\)
 c) Vì số cần thiết lần nhỏ rộng lớn \(4000\) nên chữ số mặt hàng ngàn sở hữu \(3\) cách lựa chọn. Số cơ hội lựa chọn \(3\) chữ số còn sót lại là: \(A_7^3 = 210\).
 Vậy số những số cần thiết lần sở hữu \(4\) chữ số không giống nhau nhỏ rộng lớn \(4000\)là: \(3.210 = 630\) (số)

BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Bài 1: 
Từ các chữ số \(0;2;3;4;5;7;8\)
1. Lập được từng nào số bất ngờ chẵn có 3 chữ số.
2. Lập được từng nào số bất ngờ chẵn có 3 chữ số sự khác biệt.
3. Lập được từng nào số bất ngờ có 5 chữ số nhập đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì bằng nhau.
4. Lập được từng nào số bất ngờ có 5 chữ số sự khác biệt mà tổng nhì chữ số hàng chục và đơn vị bằng 7.
5. Lập được từng nào số bất ngờ có 5 chữ số sự khác biệt mà tổng tía chữ số hàng trăm, chục và đơn vị bằng 9.
Bài 2: 
Một tổ học sinh gồm 8 nam giới và 3 nữ, giáo viên chủ nhiệm cần chọn rời khỏi 4 em để chuồn lao động, hỏi có từng nào cách chọn, nếu:
1. Chọn học sinh nào cũng được.
2. Trong 4 học sinh được chọn có duy nhất 1 học sinh nam giới.
3. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất 1 học sinh nữ.
4. Trong 4 học sinh được chọn, có nhiều nhất 2 học sinh nam giới.
5. Trong số học sinh được chọn thì số nam giới luôn luôn nhiều rộng lớn số nữ.
Bài 3: 
Có từng nào cơ hội phân chia tập dượt \(A\) gồm 10 thành phần trở nên 2 tập trung thành viên khác trống rỗng.
Bài 4: 
Có đôi mươi học tập sinh; nhập ê sở hữu 4 cặp sinh song. Chọn rời khỏi 3 học viên sao cho tới không tồn tại cặp sinh song này. Hỏi sở hữu từng nào cách?
Bài 5: 
Một ngân hàng ý hỏi gồm 5 ý hỏi khó, 6 ý hỏi trung bình và 7 ý hỏi dễ. Hỏi có thể lập được từng nào đề thi đua, mỗi đề gồm 5 ý hỏi sao cho:
1. Đề thi đua có 3 câu dễ, 1 câu trung bình và 1 câu khó.
2. Đề thi đua có 2 câu dễ, 2 câu trung bình và 1 câu khó.
3. Đề thi đua nhất thiết có đủ 3 loại ý hỏi và số ý hỏi dễ ko ít rộng lớn 2.
Bài 6: 
Tìm những số bất ngờ phân chia không còn cho tới 2 và sở hữu 5 chữ số sao cho tới chữ số đứng sau to hơn chữ số đứng ngay tắp lự trước.
Bài 7: 
Lập được từng nào số bất ngờ sở hữu 8 chữ số kể từ \(1;2;3;4;5;6\) trong ê chữ số 1 và 6 xuất hiện 2 lần; những chữ số không giống xuất hiện trúng 1 phiên.
Bài 8:
Có từng nào số bất ngờ sở hữu 9 chữ số; nhập ê sở hữu tía chữ số lẻ không giống nhau; 3 chữ số chẵn không giống nhau tuy nhiên từng chữ số chẵn xuất hiện trúng gấp đôi.
Bài 9:
Có từng nào số bất ngờ sở hữu 6 chữ số không giống nhau; sao cho tới 2 chữ số kề nhau ko nằm trong là chữ số lẻ.
Bài 10:
Cho \(0;1;...;7\). Có từng nào số bất ngờ chẵn; sở hữu 6 chữ số không giống nhau và luôn luôn xuất hiện chữ số 4.

Xem thêm: công thức tính chu vi

Luyện Bài tập dượt trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay