hàm số là gì

Trong toán học tập, một hàm số^{[note 1]} hoặc hàm là 1 trong những mối liên hệ nhị ngôi thân thiện nhị tụ họp links từng thành phần của tụ họp thứ nhất với chính một thành phần của tụ họp loại nhị. Ví dụ nổi bật là những hàm kể từ số vẹn toàn quý phái số vẹn toàn hoặc kể từ số thực quý phái số thực.

Các hàm số thuở đầu là sự việc hoàn hảo hóa cơ hội một đại lượng thay cho thay đổi tùy thuộc vào một đại lượng không giống. Ví dụ, địa điểm của một hành tinh ranh là 1 trong những hàm số của thời hạn. Về mặt mày lịch sử hào hùng, định nghĩa này được kiến tạo dựa vào phép tắc tính vi tích phân nhập vào cuối thế kỷ 17, và cho tới thế kỷ 19, những hàm được xem là khả vi (nghĩa là bọn chúng sở hữu cường độ mịn cao). Khái niệm hàm số được đầu tiên hóa nhập vào cuối thế kỷ 19 bên dưới dạng lý thuyết tụ họp, và điều này tiếp tục không ngừng mở rộng đáng chú ý những nghành nghề dịch vụ phần mềm của định nghĩa này.

Bạn đang xem: hàm số là gì

Một hàm số là 1 trong những quy trình hoặc một quan hệ tuy nhiên links từng thành phần x của một tụ họp X, được gọi là miền xác định của hàm số, cho tới một thành phần y độc nhất của một tụ họp Y (có thể là và một tụ họp như X), và gọi là tập thích hợp đích của hàm số này. Hàm số thông thường được ký hiệu tự những vần âm như f, g và h.^[1]

Nếu hàm được gọi là f, mối liên hệ này được ký hiệu là y = f (x) (đọc là " f của x "), nhập cơ thành phần x là đối số hoặc đầu vào của hàm và y là giá trị của hàm, đầu ra hoặc ảnh của x theo đuổi f .^[2] Ký hiệu được dùng nhằm màn biểu diễn nguồn vào là biến chuyển của hàm (ví dụ: f là hàm của biến chuyển x).^[3]

Một hàm số được màn biểu diễn độc nhất tự tụ họp toàn bộ những cặp số (x, f (x)), được gọi là vật dụng thị của hàm số. ^{[note 2][4]} Khi miền và miền là tụ họp những số thực, từng cặp vì vậy hoàn toàn có thể được xem là tọa phỏng Descartes của một điểm nhập mặt mày phẳng lì. Tập thích hợp những đặc điểm đó được gọi là vật dụng thị của hàm số; nó là 1 trong những phương tiện đi lại phổ cập nhằm minh họa một hàm số.

Các hàm số được dùng thoáng rộng nhập khoa học tập và nhập đa số những nghành nghề dịch vụ toán học tập. Người tao tiếp tục bảo rằng những hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" nhập đa số những nghành nghề dịch vụ toán học tập.^[5]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Nói một cơ hội trực quan tiền, hàm là 1 trong những quy trình links từng thành phần của tụ họp X với cùng một thành phần của tụ họp Y.

Về mặt mày mẫu mã, một hàm f kể từ luyện X cho tới luyện Y được xác lập tự luyện G bao gồm những cặp sở hữu trật tự (x, y) sao mang lại x ∈ X, y ∈ Y, và từng thành phần của X là bộ phận thứ nhất của chính một cặp sở hữu trật tự ghép song nhập G ^{[6] [note 3]} Nói cách thứ hai, với từng x nhập X, sở hữu chính một thành phần y sao mang lại cặp sở hữu trật tự (x, y) nằm trong luyện những cặp xác lập hàm f . Tập thích hợp G được gọi là vật dụng thị của hàm số. Về mặt mày mẫu mã, nó hoàn toàn có thể được xác lập với hàm số bên trên, tuy nhiên điều này tủ ỉm cơ hội lý giải thường thì về một công dụng như 1 quy trình. Do cơ, nhập cơ hội dùng thường thì, hàm số thông thường được phân biệt với vật dụng thị của chính nó.

Hàm còn được gọi là ánh xạ, tuy vậy một vài người sáng tác phân biệt thân thiện "ánh xạ" và "hàm số".

Trong khái niệm về hàm số, X và Y ứng được gọi là tập/miền xác định và tập đích/ miền giá chỉ trị của hàm f ^[7] Nếu (x, y) nằm trong luyện xác lập f, thì y là ảnh của x trải qua f, hoặc giá trị của f được vận dụng mang lại đối số x . điều đặc biệt, nhập văn cảnh của những số lượng, người tao cũng bảo rằng y là độ quý hiếm của f so với giá trị x của biến chuyển của nó, hoặc cộc gọn gàng rộng lớn, y là giá trị của f của x, được ký hiệu là y = f(x) .

Hai hàm f và g là đều bằng nhau, nếu như miền và tụ họp miền xác lập của bọn chúng như thể nhau và độ quý hiếm Output của bọn chúng như thể nhau bên trên toàn miền xác lập cơ. Chính thức rộng lớn, f = g nếu như f(x) = g(x) với từng x ∈ X, nhập cơ f:X → Y và g:X → Y ^{[8] [9] [note 4]}

Miền xác lập và miền độ quý hiếm ko nên khi này cũng khá được cung ứng rõ nét khi một hàm được xác lập và, nếu như không tồn tại một vài đo lường và tính toán (có thể khó), người tao hoàn toàn có thể chỉ hiểu được miền được chứa chấp nhập một tụ họp to hơn. Thông thông thường, điều này xẩy ra nhập giải tích toán học tập, nhập cơ "một hàm từ X cho tới Y " thông thường nói đến một hàm hoàn toàn có thể sở hữu một luyện con cái quí hợp^{[note 5]} của X là miền xác lập. Ví dụ, một "hàm kể từ độ quý hiếm thực cho tới độ quý hiếm thực" hoàn toàn có thể tham ô chiếu cho tới một hàm có mức giá trị thực của một biến chuyển thực. Tuy nhiên, một "hàm kể từ số thực cho tới số thực" ko Có nghĩa là miền của hàm là toàn cỗ luyện những số thực, tuy nhiên chỉ mất nghĩa miền là luyện những số thực sở hữu chứa chấp khoảng chừng há ko trống rỗng. Khi cơ một hàm vì vậy được gọi là hàm một trong những phần. Ví dụ: nếu như f là 1 trong những hàm sở hữu những số thực là miền xác lập và miền độ quý hiếm, thì một hàm ánh xạ độ quý hiếm x với độ quý hiếm là 1 trong những hàm g kể từ miền số thực cho tới miền số thực, sở hữu miền xác lập là luyện những số thực x, sao mang lại f(x) ≠ 0 .

Phạm vi của một hàm là tụ họp những hình họa của toàn bộ những thành phần nhập miền.^[10][11][12] Tuy nhiên, phạm vi thỉnh thoảng được dùng như 1 kể từ đồng nghĩa tương quan của miền độ quý hiếm,^[12][13] hay được dùng trong những sách cũ.

Định nghĩa người sử dụng quan tiền hệ[sửa | sửa mã nguồn]

Bất kỳ luyện con cái này của tích Descartes bao gồm nhị tụ họp và xác lập một mối liên hệ nhị ngôi thân thiện nhị tụ họp này. Rõ ràng là 1 trong những mối liên hệ tùy ý hoàn toàn có thể chứa chấp những cặp đôi bạn trẻ vi phạm những ĐK quan trọng cho 1 hàm số tiếp tục mang lại phía trên.

Một mối liên hệ nhị ngôi là sở hữu tính hàm số (còn được gọi là độc nhất mặt mày phải) nếu

Một mối liên hệ nhị phân là sở hữu tính tiếp nối nhau (còn được gọi là tổng mặt mày trái) nếu

Một hàm một trong những phần là 1 trong những mối liên hệ nhị ngôi tuy nhiên sở hữu tính hàm số..

Một hàm số là 1 trong những mối liên hệ nhị ngôi sở hữu tính hàm số và tiếp nối nhau.

Các tính chất không giống nhau của hàm số và bộ phận hàm số hoàn toàn có thể được format lại tự ngữ điệu của những mối liên hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu như mối liên hệ ngược là sở hữu tính hàm số, nhập cơ mối liên hệ ngược được khái niệm là ^[14]

Cách mang lại hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số hoàn toàn có thể được mang lại tự bảng hoặc tự biểu vật dụng hoặc tự 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức bên trên từng khoảng chừng, đoạn, nửa khoảng chừng.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm được mang lại bảng sau:

Các hàm mang lại tự biểu thức như , , ...

Lưu ý: Trong công tác môn Toán ở bậc Trung học tập phổ thông của nước ta (chỉ nói đến Hàm số biến chuyển số thực) quy ước rằng:

• Khi ko phân tích tăng, miền xác lập (tập xác định) của hàm số mang lại tự biểu thức nó = f(x) là tụ họp toàn bộ những độ quý hiếm của x thực hiện mang lại f(x) sở hữu nghĩa.

Ví dụ: Hàm số sở hữu miền xác lập là hoặc

Hàm số sở hữu miền xác lập là

Ví dụ: Miền độ quý hiếm của hàm số là .

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số thực.

Ví dụ: Hàm lượng giác ,hàm nón ,...

• Nếu X,Y thì hàm số được gọi là hàm số biến chuyển số phức.

Ví dụ: Hàm xấp xỉ ;

• Nếu X thì hàm số được gọi là hàm số số học tập.

Ví dụ: Hàm Euler màn biểu diễn số những số bất ngờ ko vượt lên trước vượt n và yếu tố cùng với nhau với n, hàm Sigma màn biểu diễn tổng toàn bộ những ước của số bất ngờ n...

Các dạng của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh, tuy vậy ánh, toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Như bên trên tiếp tục nhắc, hàm số là 1 trong những tình huống ánh xạ, nên người tao cũng mô tả hàm số bên dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và tuy vậy ánh.

Đơn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số là đơn ánh khi nó vận dụng lên 2 đối số không giống nhau luôn luôn mang lại 2 độ quý hiếm không giống nhau.

Xem thêm: sinh năm 2006 mệnh gì

Một cơ hội nghiêm ngặt, hàm f, xác lập bên trên X và nhận độ quý hiếm nhập Y, là đơn ánh nếu mà nó vừa lòng ĐK với từng x₁ và x₂ nằm trong X và nếu như x₁ ≠ x₂ thì f(x₁) ≠ f(x₂).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

Với vật dụng thị hàm số nó = f(x) nhập hệ tọa phỏng Đề những, từng đường thẳng liền mạch vuông góc với trục đối số Ox tiếp tục chỉ hạn chế lối cong vật dụng thị bên trên tối đa là 1 trong những điểm

Toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu mà với từng số y nằm trong Y tao luôn luôn tìm kiếm được tối thiểu một vài x nằm trong X sao mang lại f(x) = y. Theo cơ hội gọi của ánh xạ thì ĐK này Có nghĩa là từng thành phần y nằm trong Y đều là ảnh của tối thiểu một tạo ảnh x nằm trong X qua chuyện ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

cũng tức là

Đồ thị hàm hạn chế đường thẳng liền mạch

Song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Trong toán học tập, song ánh, hoặc hàm tuy vậy ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thỏa mãn đặc thù, so với mỗi y thuộc Y, sở hữu độc nhất một x thuộc X sao cho f(x) = y.

Nói cách thứ hai, f là một tuy vậy ánh nếu như và chỉ nếu như nó là tương ứng một-một giữa nhị luyện hợp; tức là nó một vừa hai phải là đơn ánh và một vừa hai phải là toàn ánh.

Ví dụ, xét hàm fxác lăm le bên trên luyện hợp số nguyên  vào, được lăm le nghĩa f(x) = x + 1. Ví dụ không giống, so với từng cặp số thực (x,y) hàm f xác lăm le bởi f(x,y) = (x + y, x − y) là một song ánh

Hàm tuy vậy ánh thỉnh thoảng còn gọi là hoán vị.

Tập thích hợp toàn bộ những tuy vậy ánh kể từ tập X vào tập Y được ký hiệu là X ↔ Y. Thông thông thường luyện những hoạn của tập X được ký hiệu là X!.

Song ánh đóng góp nhiều tầm quan trọng cần thiết nhập toán học tập, như nó dùng để làm lăm le nghĩa đẳng cấu (và những định nghĩa tương quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoạn, ánh xạ xạ hình họa, và nhiều khái niệm khác

Minh hoạ[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh tuy nhiên không nên toàn ánh		Toàn ánh nhưng không nên đơn ánh		Song ánh

Hàm thích hợp và hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho những hàm số:

trong cơ X, Y, Z là những tụ họp số phát biểu công cộng. Hàm hợp của f₁ và f₂ là hàm số:

được khái niệm bởi:

Có thể ký hiệu hàm thích hợp là:

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x²+1) là hàm số thích hợp f₂(f₁(x)), nhập cơ f₂(y) = sin(y), f₁(x) = (x² +1).

Việc phân biệt một hàm số là hàm thích hợp của những hàm không giống, trong tương đối nhiều tình huống hoàn toàn có thể khiến cho những đo lường và tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở thành giản dị và đơn giản rộng lớn.

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số tuy vậy ánh:

trong cơ X, Y là tụ họp số phát biểu công cộng.Khi cơ từng thành phần y = f(x) với y trực thuộc Y đều là hình họa của một và duy nhất thành phần x nhập X. Như vậy, hoàn toàn có thể bịa ứng từng thành phần y nhập Y với cùng một thành phần x nhập X. Phép ứng này đã xác lập một hàm số, ánh xạ kể từ Y quý phái X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được ký hiệu là:

Nếu f⁻¹(x) tồn bên trên tao phát biểu hàm số f(x) là khả nghịch. cũng có thể phát biểu đặc thù tuy vậy ánh là ĐK cần thiết và đầy đủ nhằm hàm f(x) khả nghịch ngợm, tức là nếu như f(x) là tuy vậy ánh thì tao luôn luôn tìm kiếm được hàm ngược f⁻¹(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thông thường thì hàm số được xác lập tự một biểu thức tổng quát mắng y = f(x) này cơ, ví như y = x² - 5. Tuy nhiên cũng đều có những hàm quan trọng tuy nhiên quy tắc mang lại ứng x với y của chính nó không áp theo ngẫu nhiên một quy luật này nhằm hoàn toàn có thể biểu đạt tự một biểu thức toán học tập. Trong tình huống này tao hoàn toàn có thể lập bảng cho những độ quý hiếm đối số x và những độ quý hiếm hàm số y ứng với bọn chúng. Bên cạnh đó hàm số còn hoàn toàn có thể được xác lập một cơ hội triệt nhằm tự đồ thị của chính nó.

Đối với hàm số một biến chuyển số thực (có miền xác lập thực), vật dụng thị hàm số được khái niệm như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tụ họp những điểm bên trên mặt mày phẳng lì R² sở hữu tọa phỏng [x, f(x)].

Ký hiệu vật dụng thị hàm số theo đuổi khái niệm bên trên là:

Xem thêm: năm 1963 là năm con gì

Các đặc thù của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Tính đơn điệu[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử hàm số y= f(x) xác lập bên trên K. Ta nói:

Tính chẵn lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Điều khiếu nại nhằm một hàm số chẵn hoặc lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số y=f(x) xác lập bên trên D

1. Điều khiếu nại tiên quyết nhằm hàm số sở hữu tính chẵn lẻ là luyện xác lập của hàm số nên đối xứng qua chuyện điểm 0, tức là
2. Để hàm số sẽ là chẵn cần thiết tăng ĐK f(-x) = f(x)
3. Để hàm số sẽ là lẻ cần thiết tăng ĐK f(-x) = -f(x)
4. Nếu thiếu hụt ĐK 1 hoặc cả nhị ĐK 2 và 3 thì coi như hàm số không tồn tại tính chẵn lẻ.

Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mày phẳng lì tọa phỏng Descartes:

• Đồ thị của từng hàm số chẵn đều nhận trục Oy thực hiện trục đối xứng.
• Đồ thị của từng hàm số lẻ đều nhận gốc tọa phỏng thực hiện tâm đối xứng.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ The words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously. Halmos 1970.
2. ^ This definition of "graph" refers to tát a set of pairs of objects. Graphs, in the sense of diagrams, are most applicable to tát functions from the real numbers to tát themselves. All functions can be described by sets of pairs but it may not be practical to tát construct a diagram for functions between other sets (such as sets of matrices).
3. ^ The sets X, Y are parts of data defining a function; i.e., a function is a phối of ordered pairs with , together with the sets X, Y, such that for each , there is a unique with in the phối.
4. ^ This follows from the axiom of extensionality, which says two sets are the same if and only if they have the same members. Some authors drop codomain from a definition of a function, and in that definition, the notion of equality has to tát be handled with care; see, for example, “When tự two functions become equal?”. Stack Exchange. ngày 19 mon 8 năm năm ngoái.
5. ^ called the domain of definition by some authors, notably computer science