Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Tìm giá bán tị nạnh lớn số 1 (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa chấp vết căn, biểu thức chứa chấp vết độ quý hiếm vô cùng,...) là một trong những trong mỗi dạng toán lớp 9 có khá nhiều bài xích kha khá khó khăn và yên cầu kỹ năng và kiến thức áp dụng hoạt bát trong những Việc.

Bài ghi chép này tiếp tục share với những em một vài cơ hội thăm dò độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa chấp vết căn, chứa chấp vết độ quý hiếm vô cùng,...) qua chuyện một vài bài xích tập dượt minh họa ví dụ.

Bạn đang xem: giá trị nhỏ nhất

* Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến hóa số)

- Muốn thăm dò độ quý hiếm lớn số 1 hoặc giá trị nhỏ nhất của một biểu thức tao hoàn toàn có thể biến hóa biểu thức trở thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức bám theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x - 3.

Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)² - 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² - 4 ≥ -4

⇒ A ≥ - 4 vết vị xẩy ra, tức A = - 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

- Kết luận: A_min = -4 Khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x - 5.

Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

- Ta có: A = -x² + 6x - 5 = -x² + 6x - 9 + 9 - 5 = -(x - 3)² + 4 = 4 - (x - 3)²

- Vì (x - 3)² ≥ 0 ⇒ -(x - 3)² ≤ 0 ⇒ 4 - (x - 3)² ≤ 4

⇒ A ≤ 4 vết vị xẩy ra, tức A = 4 ⇔ x - 3 = 0 ⇔ x = 3

- Kết luận: A_max = 4 Khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức:

$small A=frac{1}{x^2+2x+5}$

- Tìm x nhằm A_max; tính A_max =?

° Lời giải:

- Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

- Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

- Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4

dấu "=" xảy ra khi và chỉ Khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay học hỏi và giao lưu dn1

* Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp vết căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến hóa số)

- Cũng tương tự động như cơ hội thăm dò ở cách thức bên trên, áp dụng đặc thù của biểu thức ko âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

- Dấu "=" xẩy ra Khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức:

$small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Lời giải:

- Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x - 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Lời giải:

- Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x - 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x - 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x - 1)² + 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu "=" xẩy ra khi x - 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Lời giải:

- Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

Xem thêm: cucl2 có kết tủa không

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 nên giá trị nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức:

$small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Lời giải:

- Điều kiện: x≥0

- Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì small x-sqrt{x}+2 đạt giá trị nhỏ nhất

- Ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu"=" xẩy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

- Kết luận: GTLN của A = 4/7 Khi x = 1/4.

* Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp vết độ quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến hóa số)

- Bài toán này cũng hầu hết nhờ vào tính ko âm của trị vô cùng.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

° Lời giải:

- Ta có: |2x - 2| ≥ 0 ⇔ -|2x - 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x - 2| ≤ 5

Dấu "=" xẩy ra Khi |2x - 2| = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3

° Lời giải:

- Ta có: |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| ≥ 0 ⇔ |9 - x| - 3 ≥ -3

Dấu "=" xẩy ra Khi |9 - x| = 0 ⇔ 9 - x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những Việc bên trên dựa vào những biến hóa về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị vô cùng,...) và hằng số nhằm thăm dò rời khỏi lời nói giải.

Thực tế, còn nhiều Việc nên dùng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho tới nhị số a, b ko âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu "=" xẩy ra Khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa chấp vết độ quý hiếm tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu "=" xẩy ra Khi và chỉ Khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu "=" xẩy ra Khi và chỉ Khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Lời giải:

- Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

- sít dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu thân thích khoảng nằm trong và khoảng nhân AM-GM (Arithmetic Means - Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu "=" xẩy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức:

$small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Lời giải:

- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 tao có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ (Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tao được)

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu "=" xẩy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu ĐK a > 1 nên có thể nhận a = 2; loại a = 0.

- Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với nội dung bài viết Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở bên trên chung những em làm rõ rộng lớn về dạng toán này.

Việc áp dụng vào cụ thể từng Việc yên cầu khả năng thực hiện toán của những em, khả năng này còn có được Khi những em chịu khó rèn luyện qua không ít bài xích tập dượt. Mọi chung ý và vướng mắc những em hãy nhằm lại phán xét bên dưới nội dung bài viết để $\small hayhochoi.vn$ ghi nhận và tương hỗ, chúc những em học tập chất lượng tốt.