Đường tròn

Trong hình học tập phẳng lặng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là giao hội của toàn bộ những điểm bên trên một phía phẳng lặng, cơ hội đều một điểm mang lại trước bởi vì một khoảng cách nào là bại. Điểm mang lại trước gọi là tâm của đàng tròn trĩnh, còn khoảng tầm mang lại trước gọi là bán kính của đàng tròn trĩnh.

Đường tròn trĩnh tâm O nửa đường kính R ký hiệu là (O;R)

Bạn đang xem: đường tròn là gì

Đường tròn trĩnh là 1 trong hình kín đơn giản và giản dị phân chia mặt mũi phẳng lặng rời khỏi thực hiện 2 phần: phần viền vô và phần phía bên ngoài. Trong khi "đường tròn" ranh giới của hình, "hình tròn" bao hàm cả ranh giới và phần viền vô.

Đường tròn trĩnh cũng khá được khái niệm là 1 trong hình elíp đặc biệt quan trọng với nhì chi tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bởi vì 0. Đường tròn trĩnh cũng chính là hình xung quanh nhiều diện tích S nhất bên trên từng đơn vị chức năng chu vi bình phương.

Một số thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Cung: một quãng đóng góp bất kì bên trên đàng tròn trĩnh. Cung AB ký hiệu là
Dây cung (gọi tắt là dây): đoạn trực tiếp với 2 đầu mút phía trên đàng tròn trĩnh.
Tâm: điểm cơ hội đều toàn bộ những điểm bên trên đàng tròn trĩnh.
Chu vi hình tròn: chừng lâu năm đường biên giới số lượng giới hạn hình trụ.
Bán kính: là đoạn trực tiếp (hoặc chừng lâu năm đoạn thẳng) nối tâm với cùng một điểm bất kì bên trên đàng tròn trĩnh và bởi vì 1/2 2 lần bán kính.
Đường kính: đoạn trực tiếp (hoặc chừng lâu năm đoạn thẳng) với 2 đầu mút phía trên đàng tròn trĩnh và là chão cung trải qua tâm, hoặc khoảng cách lâu năm nhất thân thích 2 điểm bên trên đàng tròn trĩnh. Đường kính là chão cung lâu năm nhất của đàng tròn trĩnh và bởi vì gấp đôi nửa đường kính.
Cát tuyến: đường thẳng liền mạch bên trên mặt mũi phẳng lặng hạn chế đàng tròn trĩnh bên trên 2 điểm.
Tiếp tuyến: đường thẳng liền mạch xúc tiếp với đàng tròn trĩnh bên trên một điểm có một không hai.
Hình tròn: phần mặt mũi phẳng lặng số lượng giới hạn bởi vì đàng tròn trĩnh.
Hình khuyên nhủ (hình nhẫn hoặc hình khoanh khăn): vùng bị số lượng giới hạn bởi vì 2 đàng tròn trĩnh đồng tâm và với nửa đường kính không giống nhau.
Hình quạt tròn: phần hình tròn giới hạn bởi vì hai bán kính và cung tròn bị chắn bởi vì nhì nửa đường kính này.
Hình viên phân: phần bị số lượng giới hạn bởi vì cung tròn trĩnh và chão căng cung.
Hình phân phối nguyệt: cung căng 2 lần bán kính. Thông thông thường, thuật ngữ này còn bao hàm 2 lần bán kính, cung căng 2 lần bán kính và phần viền vô, tức nửa hình trụ.
Đường tròn trĩnh nước ngoài tiếp nhiều giác là đàng tròn trĩnh trải qua toàn bộ những đỉnh của nhiều giác bại. Khi bại gọi là nhiều giác nội tiếp đàng tròn
Đường tròn trĩnh nội tiếp nhiều giác là đàng tròn trĩnh xúc tiếp với toàn bộ những cạnh của nhiều giác bại. Khi bại gọi là nhiều giác nước ngoài tiếp đàng tròn

Sự xác lập đàng tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Một đàng tròn trĩnh được xác lập lúc biết tâm và nửa đường kính của chính nó, hoặc lúc biết một quãng trực tiếp là 2 lần bán kính của chính nó.

Qua 3 điểm ko trực tiếp sản phẩm, tao hoàn toàn có thể vẽ được một và duy nhất đàng tròn trĩnh.

Hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hình học tập phẳng lặng, đàng tròn trĩnh và hình trụ là nhì định nghĩa không giống nhau. Hình tròn trĩnh là giao hội toàn bộ những điểm ở trong và phía trên đàng tròn trĩnh hoặc giao hội những điểm cơ hội tâm một khoảng tầm nhỏ rộng lớn hoặc bởi vì nửa đường kính. Đường tròn trĩnh không tồn tại diện tích S như hình trụ.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Từ circle với xuất xứ kể từ giờ đồng hồ Hy Lap κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), tức là "vòng" hoặc "nhẫn".^[1]

Đường tròn trĩnh trong mỗi bạn dạng vẽ thiên văn Ả Rập cổ.

Đường tròn trĩnh đã và đang được biết tới từ trước lúc lịch sử hào hùng ghi sẽ có được. Những hình trụ vô đương nhiên hẳn đã và đang được để ý, ví như Mặt Trăng, Mặt Trời... Đường tròn trĩnh là nền tảng nhằm cải tiến và phát triển bánh xe pháo, tuy nhiên cùng theo với những sáng tạo tương tự động như bánh răng, là bộ phận cần thiết vô công cụ tân tiến. Trong toán học tập, việc phân tích đàng tròn trĩnh đang được dẫn tới việc cải tiến và phát triển của hình học tập, thiên văn học tập và vi tích phân.

Khoa học tập nguyên sơ, nhất là hình học tập, thiên văn học tập và chiêm tinh nghịch học tập, thông thường được không ít học tập fake thời trung thế kỉ liên kết với thánh thần, và nhiều người tin yêu rằng với gì bại "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình trụ.^[2]^[3]

Một số lốt mốc vô lịch sử hào hùng đàng tròn:

Năm 1700 trước Công nguyên– Bản giấy tờ cói Rhind thể hiện cách thức nhằm tính diện tích S hình trụ. Kết ngược tương tự với 256/81 (3.16049...) như 1 độ quý hiếm xấp xỉ của π.^[4]
Năm 300 trước Công nguyên vẹn – Quyển 1, Quyển 3 của cuốn sách Cơ sở của Euclid thể hiện khái niệm và bàn về những đặc thù của đàng tròn trĩnh.
Trong Bức thư loại bảy của Plato với cùng một khái niệm cụ thể và phân tích và lý giải về đàng tròn trĩnh. Plato ghi chép về một đàng tròn trĩnh tuyệt đối hoàn hảo, và sự khác lạ của chính nó với bất kì hình vẽ, phân tích và lý giải hoặc khái niệm nào là không giống.
Năm 1880 – Lindemann minh chứng được π là số siêu việt, xử lý hoàn toàn vẹn vấn đề cầu phương hình trụ sau rộng lớn một thiên niên kỷ.^[5]

Đặc điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Độ lâu năm đàng tròn trĩnh (chu vi hình tròn)[sửa | sửa mã nguồn]

Tỉ số của chừng lâu năm đàng tròn trĩnh với 2 lần bán kính của chính nó là π (pi), một hằng số vô tỉ có mức giá trị xấp xỉ bởi vì 3.141592654, vậy chu vi của hình trụ (còn được gọi là viên chu), là chừng lâu năm của đàng tròn trĩnh, bởi vì tích của pi với 2 lần bán kính hoặc gấp đôi pi nhân với nửa đường kính. Công thức:

Diện tích bao kín[sửa | sửa mã nguồn]

Trong bạn dạng luận Sự đo lường của một hình trụ của Archimedes, diện tích S hình trụ A bởi vì diện tích S của tam giác với cạnh lòng bởi vì chu vi đàng tròn trĩnh và đàng cao bởi vì nửa đường kính hình trụ,^[6] tức A bởi vì π nhân mang lại bình phương phân phối kính:

Tương tự động, ký hiệu 2 lần bán kính là d,

tức khoảng tầm 79% diện tích S hình vuông vắn nước ngoài tiếp đàng tròn trĩnh (với chừng lâu năm cạnh là d). Đường tròn trĩnh cũng chính là hình phẳng lặng bao kín nhiều diện tích S nhất với chu vi mang lại trước.

Phương trình[sửa | sửa mã nguồn]

Hệ tọa chừng Descartes[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng Descartes, vòng tròn trĩnh với tâm bên trên (a, b) và nửa đường kính r là giao hội toàn bộ những điểm (x, y) thỏa mãn:

Phương trình này, được biết là Phương trình đàng tròn trĩnh, khởi đầu từ Định lý Pytago vận dụng cho 1 điểm bên trên đàng tròn: Như vô hình mặt mũi, nửa đường kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |x − a| và |y − b|. Nếu tâm đàng tròn trĩnh nằm tại vị trí gốc tọa chừng (0, 0), thì phương trình được thu gọn gàng thành:

Phương trình hoàn toàn có thể ghi chép bên dưới dạng thông số dùng những nồng độ giác sin và cosine như sau

với t là thông số trong vòng kể từ 0 cho tới 2π, một cơ hội hình học tập, t tương tự với góc tạo ra bởi vì tia trải qua (a, b), (x, y) và trục x dương.

Một phương trình thông số không giống của đàng tròn trĩnh là:

Tuy nhiên ở sự thông số hóa này, t không chỉ là chạy qua loa toàn bộ số thực mà còn phải chạy cho tới vô hạn, còn nếu như không thì điểm bên dưới nằm trong của đàng tròn trĩnh sẽ không còn được thể hiện tại.

Trong hệ tọa chừng như nhau, từng đàng conic với phương trình của đàng tròn trĩnh với dạng:

Hệ tọa chừng cực[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa chừng rất rất phương trình của một đàng tròn trĩnh là:

với a là nửa đường kính của đàng tròn trĩnh, là tọa chừng rất rất của một điểm bên trên đàng tròn trĩnh, và là tọa chừng rất rất của tâm đàng tròn trĩnh (tức r₀ là khoảng cách kể từ gốc tọa chừng cho tới tâm, và φ góc trái hướng kim đồng hồ thời trang kể từ trục hoành đường thẳng liền mạch trải qua tâm và gốc tọa độ). Với đàng tròn trĩnh với tâm ở gốc tọa chừng, tức r₀ = 0, thì được đơn giản và giản dị hóa còn r = a. Khi r₀ = a, hoặc gốc tọa chừng phía trên đàng tròn trĩnh thì phương trình trở thành:

Trong tình huống tổng quát tháo, tao hoàn toàn có thể giải phương trình mang lại r

Chú ý rằng nếu như không tồn tại lốt ±, vô một vài tình huống phương trình chỉ tế bào mô tả nửa đàng tròn trĩnh.

Mặt phẳng lặng phức[sửa | sửa mã nguồn]

Trong mặt mũi phẳng lặng phức, một đàng tròn trĩnh với tâm bên trên c và nửa đường kính (r) với phương trình . Tại dạng thông số hóa: .

Phương trình tổng quát tháo cho những số thực p, q và số phức g nhiều lúc được gọi là đàng tròn trĩnh tổng quát tháo. Phương trình này phát triển thành phương trình phía trên với , vì thế . Không cần đàng tròn trĩnh tổng quát tháo nào thì cũng là đàng tròn trĩnh thực sự: đàng tròn trĩnh tổng quát tháo hoặc là đàng tròn trĩnh thực sự hoặc là 1 trong đường thẳng liền mạch.

Đường tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tiếp tuyến qua loa một điểm P bên trên đàng tròn trĩnh vuông góc 2 lần bán kính trải qua P. Nếu P = (x₁, y₁) và đàng tròn trĩnh với tâm (a, b) và nửa đường kính r, thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng liền mạch trải qua (a, b) và (x₁, y₁), nên nó với dạng (x₁ − a)x + (y₁ – b)y = c. Tính với (x₁, y₁) xác lập độ quý hiếm của c và sản phẩm phương trình của đàng tiếp tuyến là:

hay

Nếu y₁ ≠ b thì chừng dốc của đường thẳng liền mạch là

Kết ngược này cũng hoàn toàn có thể được suy rời khỏi dùng đạo hàm hàm ẩn.

Nếu tâm đàng tròn trĩnh nằm tại vị trí gốc tọa chừng thì phương trình tiếp tuyến là và chừng dốc của chính nó là

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Tính hóa học chung[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn trĩnh là hình với diện tích S lớn số 1 với chu vi mang lại trước. (Xem Bất đẳng thức đẳng chu)
Đường tròn trĩnh với tính đối xứng cao: tâm của đàng tròn trĩnh là tâm đối xứng và những 2 lần bán kính là những trục đối xứng
Mọi đàng tròn trĩnh đều đồng dạng.
- Chu vi đàng tròn trĩnh tỉ lệ thành phần thuận với nửa đường kính theo dõi hằng số 2π.
- Diện tích hình trụ tỉ lệ thành phần thuận với bình phương nửa đường kính theo dõi hằng số π.
Đường tròn trĩnh với tâm bên trên gốc tọa chừng và nửa đường kính là một trong những gọi là đàng tròn trĩnh đơn vị chức năng.
- Đường tròn rộng lớn của hình cầu đơn vị chức năng là đường tròn trĩnh Riemann.
Tập hợp ý toàn bộ những điểm nhìn đoạn trực tiếp bên dưới 1 góc vuông là đàng tròn trĩnh với 2 lần bán kính là đoạn trực tiếp đó

Dây cung[sửa | sửa mã nguồn]

Dây cung cơ hội đều tâm khi và chỉ khi bọn chúng lâu năm cân nhau.
Trong và một đàng tròn trĩnh, chão càng lâu năm thì sẽ càng ngay gần tâm.
Đường kính vuông góc với chão cung bên trên trung điểm của chão cung đó
Đường kính trải qua trung điểm của một chão ko trải qua tâm thì vuông góc với chão.
Đường kính là chão cung lâu năm nhất vô đàng tròn
Nếu kí thác điểm nhì chão cung hạn chế nhau chia một chão trở nên nhì đoạn a và b, phân chia chão cung bại thành c và d, thì ab = cd (gọi là phương tích của điểm đó).
Nếu kí thác điểm nhì chão cung hạn chế nhau chia một chão trở nên nhì đoạn a và b, phân chia chão cung bại thành m và n, thì a² + b² + m² + n² = d² (với d là đàng kính).
Tổng bình phương chiều lâu năm 2 chão cung vuông góc bên trên một điểm cố định và thắt chặt ko thay đổi và bởi vì 8r² – 4p² (với r là nửa đường kính đàng tròn trĩnh, p là khoảng cách kể từ tâm đàng tròn trĩnh cho tới kí thác điểm đó).
Khoảng cơ hội từ là một điểm bên trên đàng tròn trĩnh cho tới một chão cung nữ với 2 lần bán kính bởi vì tích của khoảng cách điểm bại cho tới 2 đầu mút của chão cung.
2 cung nhỏ của một đàng tròn trĩnh hoặc 2 đàng tròn trĩnh cân nhau căng 2 chão cân nhau thì 2 cung bại cân nhau và ngược lại
Với 2 cung nhỏ của một đàng tròn trĩnh hoặc 2 đàng tròn trĩnh cân nhau, cung nào là căng chão rộng lớn hơn(hoặc nhỏ bé hơn) thì cung bại rộng lớn hơn(hoặc nhỏ bé hơn) và ngược lại.

Tiếp tuyến[sửa | sửa mã nguồn]

Đường trực tiếp vuông góc với nửa đường kính bên trên đầu mút của nửa đường kính phía trên đàng tròn trĩnh là 1 trong đàng tiếp tuyến với đàng tròn trĩnh.
Đường trực tiếp vuông góc với tiếp tuyến bên trên điểm xúc tiếp với đàng tròn trĩnh thì trải qua tâm.
Từ một điểm ở ngoài đàng tròn trĩnh luôn luôn vẽ được nhì tiếp tuyến với đàng tròn trĩnh.
Nếu hai tiếp tuyến bên trên A và B với đàng tròn trĩnh tâm O cắt nhau bên trên P thì
Nếu AD tiếp xúc với đàng tròn trĩnh tại A và AQ một chão cung của đàng tròn trĩnh, thì .

Định lý[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý chão cung tuyên bố nếu như nhì chão cung, CD và EB, hạn chế nhau tại A thì AC.AD = AB.AE.
Nếu nhì cát tuyến, AE và AD, hạn chế đàng tròn trĩnh theo lần lượt tại B và C thì AC.AD = AB.AE. (Hệ ngược của quyết định lý chão cung)
Một tiếp tuyến hoàn toàn có thể coi như 1 số lượng giới hạn của cát tuyến với đầu mút trùng nhau. Nếu tiếp tuyến kể từ điểm A ở ngoài đàng tròn trĩnh hạn chế đàng tròn trĩnh tại F và một cát tuyến từ A cắt đàng tròn trĩnh theo lần lượt tại C và D thì AF² = AC.AD. (Định lý tiếp tuyến-cát tuyến)
Góc nằm trong lòng một chão cung và tiếp tuyến bên trên một đầu chão cung bởi vì 1/2 góc ở tâm bị khuất bởi vì chão cung bại (Tangent Chord Angle).
Nếu góc ở tâm bị khuất bởi vì chão cung là góc vuông thì ℓ = r√2, với ℓ là chừng lâu năm chão cung và r là nửa đường kính đàng tròn trĩnh.
Nếu nhì cát tuyến hạn chế đàng tròn trĩnh như mặt mũi thì góc A bằng nửa hiệu nhì cung tạo ra trở nên (DE và BC), tức , với O là tâm đàng tròn trĩnh. Đây là quyết định lý 2 cát tuyến với đàng tròn trĩnh.

Sagitta[sửa | sửa mã nguồn]

Sagitta (còn được biết là versine) là đoạn trực tiếp vuông góc với chão cung, trải qua trung điểm của chão cung và cung tuy nhiên chão bại chắn.
Cho chừng lâu năm y của chão và chừng lâu năm x sagitta, tao hoàn toàn có thể sử dụng quyết định lý Pytago nhằm tính nửa đường kính của đàng tròn trĩnh có một không hai vừa phải với 2 đoạn thẳng:

Một minh chứng không giống của sản phẩm này dùng đặc thù nhì chão cung như sau: Cho chão cung có tính lâu năm y và sagitta có tính lâu năm x, vì thế sagitta trải qua trung điểm của chão cung, nó cần là 1 trong phần 2 lần bán kính. Do 2 lần bán kính lâu năm gấp hai phân phối kinh, phần "bị thiếu" của 2 lần bán kính có tính lâu năm (2r − x). Do 1 phần của một chão cung này nhân phần bại ko thay đổi khi chão xoay quanh kí thác điểm, tao tìm kiếm ra . Giải thăm dò r, tao sẽ có được sản phẩm như bên trên.

Xem thêm: Giày Nike chính hãng giá bao nhiêu? Những mẫu giày Nike hot nhất

Dựng hình[sửa | sửa mã nguồn]

Có nhiều luật lệ dựng hình bởi vì thước kẻ và compa đã cho ra đàng tròn trĩnh.

Đơn giản và căn bạn dạng nhất là luật lệ dựng hình đang được biết tâm đàng tròn trĩnh và một điểm phía trên đàng tròn trĩnh. Đặt chân trụ của com-pa bên trên tâm, chân xoay lên điểm bên trên đàng tròn trĩnh và xoay com-pa.

Dựng đàng tròn trĩnh với 2 lần bán kính mang lại trước[sửa | sửa mã nguồn]

Dựng trung điểm M của 2 lần bán kính.
Dựng đàng tròn trĩnh với tâm M trải qua một đầu mút của 2 lần bán kính (nó cũng tiếp tục qua loa đầu mút còn lại).

Dựng đàng tròn trĩnh trải qua tía điểm ko trực tiếp hàng[sửa | sửa mã nguồn]

Gọi tía điểm này đó là P, Q và R,
Dựng đàng trung trực của đoạn PQ.
Dựng đàng trung trực của đoạn PR.
Gọi kí thác điểm hai tuyến đường trung trực là M. (Chúng hạn chế nhau vì thế những điểm ko trực tiếp sản phẩm collinear).
Dựng đàng tròn trĩnh tâm M trải qua một trong số điểm P, Q hoặc R (nó cũng tiếp tục qua loa nhì điểm còn lại).

Dựng tiếp tuyến trải qua một điểm ở ngoài đàng tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho điểm A ở ngoài đàng tròn trĩnh tâm O, vẽ đàng tròn trĩnh 2 lần bán kính AO hạn chế đàng tròn trĩnh O bên trên 2 điểm, khi bại 2 điểm này đó là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến trải qua điểm A.

Đường tròn trĩnh của Apollonius[sửa | sửa mã nguồn]

Apollonius của Pergaeus cho rằng đàng tròn trĩnh còn hoàn toàn có thể khái niệm là giao hội những điểm bên trên mặt mũi phẳng lặng với tỉ số ko thay đổi (khác 1) của khoảng cách cho tới nhì chi tiêu điểm, A và B.^[7]^[8] (Nếu tỉ số là một trong những thì giao hội ấy là đàng trung trực của đoạn trực tiếp AB.)

Chứng minh bao gồm nhì phần. trước hết tao cần thiết minh chứng, mang lại nhì chi tiêu điểm A và B một tỉ số, bất kì điểm P vừa lòng tỉ số cần phía trên một đàng tròn trĩnh chắc chắn. Gọi C là 1 trong điểm vừa lòng tỉ số và phía trên đoạn trực tiếp AB. Từ quyết định lý đàng phân giác suy rời khỏi PC tiếp tục phân chia song góc vô APB:

Tương tự động, đoạn trực tiếp PD qua loa điểm D bên trên đường thẳng liền mạch AB phân chia song góc ngoài BPQ với Q phía trên tia AP kéo dãn dài. Do góc ngoài và góc vô bù nhau, góc CPD cần bởi vì 90 chừng. Tập hợp ý những điểm P sao mang lại góc CPD là góc vuông tạo ra trở nên một đàng tròn trĩnh với CD là 2 lần bán kính.

Thứ nhì, coi ^[9]^:tr.15 nhằm minh chứng rằng những điểm bên trên đàng tròn trĩnh vừa phải tạo ra vừa lòng tỉ số.

Tỉ số kép[sửa | sửa mã nguồn]

Một đặc thù của đàng tròn trĩnh tương quan cho tới hình học tập của tỉ số kép của những điểm bên trên mặt mũi phẳng lặng phức. Nếu A, B, và C mang lại như bên trên thì đàng tròn trĩnh của Apollonius của tía điểm là giao hội những điểm P sao mang lại độ quý hiếm vô cùng của tỉ số kép bởi vì 1:

Nói cách tiếp, P là vấn đề bên trên đàng tròn trĩnh của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép (A,B;C,P) phía trên đàng tròn trĩnh đơn vị chức năng bên trên mặt mũi phẳng lặng phức.

Đường tròn trĩnh tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu C là trung điểm của đoạn AB thì giao hội những điểm P vừa lòng ĐK Apollonius

không tạo ra trở nên một đàng tròn trĩnh tuy nhiên trở nên một đường thẳng liền mạch.

Vậy nên nếu như A, B, C là những điểm phân biệt bên trên mặt mũi phẳng lặng thì quỹ tích lũy P vừa lòng phương trình bên trên gọi là "đường tròn trĩnh tổng quát". Nó hoàn toàn có thể là 1 trong đàng tròn trĩnh hoặc một đường thẳng liền mạch. Trong tình huống này, một đường thẳng liền mạch là 1 trong đàng tròn trĩnh tổng quát tháo với nửa đường kính vô hạn.

Đường tròn trĩnh nội tiếp hoặc nước ngoài tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Trong từng tam giác, một đàng tròn trĩnh có một không hai, gọi là đàng tròn trĩnh nội tiếp nếu như nó xúc tiếp với tía cạnh tam giác.^[10]

Với từng tam giác một đàng tròn trĩnh có một không hai, gọi là đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp, nếu như nó trải qua tía đỉnh của tam giác.^[11]

Một nhiều giác nước ngoài tiếp là 1 trong nhiều giác lồi ngẫu nhiên tuy nhiên một đàng tròn trĩnh hoàn toàn có thể nội tiếp được và xúc tiếp với những cạnh của nhiều giác.^[12] Tất cả nhiều giác đều và tam giác đều là 1 trong nhiều giác nước ngoài tiếp.

Một nhiều giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là 1 trong nhiều giác lồi ngẫu nhiên tuy nhiên một đàng tròn trĩnh hoàn toàn có thể xung quanh, trải qua vớ những cụm đỉnh. Một tình huống được phân tích kỹ lưỡng là tứ giác nội tiếp. Tất cả nhiều giác đều và tam giác đều là 1 trong nhiều giác nội tiếp. Một nhiều giác vừa phải nước ngoài tiếp vừa phải nội tiếp được gọi là nhiều giác lưỡng tâm.

Bất kỳ nhiều giác đều nào thì cũng đều phải sở hữu đích 1 đàng tròn trĩnh nước ngoài tiếp và với đích 1 đàng tròn trĩnh nội tiếp

Một đàng cong hypocycloid là đàng cong ở trong một đàng tròn trĩnh, vẽ bằng phương pháp theo dõi lốt một điểm cố định và thắt chặt bên trên một đàng tròn trĩnh nhỏ rộng lớn lăn kềnh vô đàng tròn trĩnh đang được mang lại và xúc tiếp với nó..

Vị trí tương đối[sửa | sửa mã nguồn]

Vị trí kha khá thân thích đường thẳng liền mạch và đàng tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho đàng tròn trĩnh tâm O nửa đường kính R và đường thẳng liền mạch d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng liền mạch d. Ta với bảng sau:

Vị trí kha khá thân thích đường thẳng liền mạch và đàng tròn
Vị trí tương đối	Số điểm chung	So sánh OH với R
Đường trực tiếp hạn chế đàng tròn	2	OH < R
Đường trực tiếp xúc tiếp đàng tròn	1	OH = R
Đường trực tiếp và đàng tròn trĩnh ko kí thác nhau	0	OH > R

Vị trí kha khá thân thích 2 đàng tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cho đàng tròn trĩnh tâm O nửa đường kính R và đàng tròn trĩnh tâm I nửa đường kính r. Ta với bảng sau:


Số điểm chung	Vị trí tương đối		So sánh OI với R và r	Số tiếp tuyến chung
2	2 đàng tròn trĩnh hạn chế nhau		R - r < OI < R + r	2
1	2 đàng tròn trĩnh xúc tiếp nhau	Tiếp xúc ngoài	OI=R+r	3
1	2 đàng tròn trĩnh xúc tiếp nhau	Tiếp xúc trong		1
0	2 đàng tròn trĩnh ko kí thác nhau	(O) và (I) ở ngoài nhau	OI>R+r	4
0	2 đàng tròn trĩnh ko kí thác nhau	(O) đựng (I)		0

Đường tròn trĩnh bên dưới dạng đặc biệt quan trọng của những hình khác[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn trĩnh hoàn toàn có thể coi là 1 trong tình huống số lượng giới hạn của một vài hình khác:

Một đàng cong Decartes là giao hội những điểm sao mang lại tổng trọng số của khoảng cách kể từ điểm bại cho tới nhì điểm cố định và thắt chặt (tiêu điểm) là 1 trong hằng số. Một elíp là tình huống những trọng số cân nhau. Một đàng tròn trĩnh là 1 trong elíp có tính chéo tâm bởi vì 0, tức là nhì chi tiêu điểm trùng nhau tạo ra thành ý đàng tròn trĩnh. Một đàng tròn trĩnh cũng là 1 trong đàng cong Descartes đặc biệt quan trọng với cùng một trọng số bởi vì 0.
Một siêu elíp (hay đàng cong Lamé) với phương trình dạng với a, b, n dương. Một siêu đàng tròn trĩnh với b = a. Một đàng tròn trĩnh là tình huống đặc biệt quan trọng của siêu đàng tròn trĩnh với n = 2.
Một đàng oval Cassini là giao hội những điểm sao mang lại tích khoảng cách kể từ điểm bại cho tới nhì điểm cố định và thắt chặt là 1 trong hằng số. Khi nhì chi tiêu điểm trùng nhau, một đàng tròn trĩnh tạo hình.
Một đàng cong với chiều rộng lớn ko thay đổi là 1 trong hình với chiều rộng lớn, khái niệm bởi vì thân thích hai tuyến đường trực tiếp tuy nhiên song phân biệt xúc tiếp với hình bại, không bao giờ thay đổi bất kể vị trí hướng của hai tuyến đường trực tiếp bại. Đường tròn trĩnh là ví dụ đơn giản và giản dị nhất mang lại đàng cong này.

Góc với đàng tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Góc ở tâm - số đo cung[sửa | sửa mã nguồn]

2 cạnh của góc ở tâm hạn chế nhau bên trên 2 điểm, phân chia đàng tròn trĩnh trở nên 2 cung:

Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đàng tròn trĩnh. Số đo của nửa đàng tròn trĩnh là

Khi 2 đầu của cung trùng nhau, tao với cung không với số đo và cả đàng tròn trĩnh với số đo

Trong và một đàng tròn trĩnh hoặc trong số đàng tròn trĩnh cân nhau, 2 cung với số đo cân nhau thì cân nhau.

Cho điểm C phía trên cung AB và phân chia cung AB trở nên 2 cung là cung AC và cung CB. Khi bại số đo của cung AB bởi vì tổng số đo cung AC và cung CB.

Góc nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Số đo góc nội tiếp bởi vì nửa số đo cung bị chắn
Góc nội tiếp là góc nhọn hoặc góc vuông thì bởi vì nửa góc ở tâm nằm trong chắn cung bại.
Các góc nội tiếp nằm trong chắn một cung và ở nằm trong phía với chão căng cung bại thì cân nhau.
Hai góc nội tiếp nằm trong chắn một cung ở không giống phía với chão căng cung bại thì bù nhau.
Góc nội tiếp chắn nửa đàng tròn trĩnh là góc vuông (định lý Thales).

Đường tròn trĩnh tâm O vô hình với tiếp tuyến bên trên A là đường thẳng liền mạch xy. Ta được 2 góc chắn cung nhỏ AB và chắn cung rộng lớn AB

{\displaystyle {\widehat {xAB}}} — Đường tròn trĩnh tâm O vô hình với tiếp tuyến bên trên A là đường thẳng liền mạch xy. Ta được 2 góc chắn cung nhỏ AB và chắn cung rộng lớn AB

Góc hợp ý bởi vì tia tiếp tuyến và chão cung[sửa | sửa mã nguồn]

Góc thân thích tia tiếp tuyến và chão cung là góc có một cạnh là chão của đàng tròn trĩnh, cạnh bại tạo ra bởi vì tia tiếp tuyến của đàng tròn trĩnh và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đàng tròn trĩnh.

Số đo của góc hợp ý bởi vì tia tiếp tuyến và chão cung thì bởi vì nửa số đo cung bị khuất.

Góc hợp ý bởi vì tia tiếp tuyến và chão cung thì bởi vì góc nội tiếp nằm trong chắn cung đó

Tính hóa học của góc với đỉnh ở trong hoặc ngoài đàng tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Số đo của góc với đỉnh ở trong đàng tròn trĩnh bởi vì nửa tổng số đo 2 cung bị khuất.

Xem thêm: trân thành

Góc với đỉnh ở ngoài đàng tròn trĩnh và chắn bên trên đàng tròn trĩnh bại 2 cung thì số đo của góc bại bởi vì nửa hiệu số đo 2 cung bị khuất.

Cầu phương hình tròn[sửa | sửa mã nguồn]

Cầu phương hình trụ là vấn đề thể hiện bởi vì những ngôi nhà hình học tập thượng cổ, đòi hỏi dựng một hình vuông vắn với diện tích S bởi vì diện tích S một hình trụ đang được mang lại vô hữu hạn bước bởi vì thước trực tiếp và com-pa.

Năm 1882, vấn đề được minh chứng là ko thể tiến hành được, như 1 hệ ngược của quyết định lý Lindemann–Weierstrass minh chứng rằng pi (π) là một vài siêu việt, chứ không hề cần là một vài đại số vô tỉ; tức là nó ko cần là nghiệm của bất kể nhiều thức với thông số hữu tỉ.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ krikos, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
^ Arthur Koestler, The Sleepwalkers: A History of Man's Changing Vision of the Universe (1959)
^ Proclus, The Six Books of Proclus, the Platonic Successor, on the Theology of Plato Tr. Thomas Taylor (1816) Tập 2, Chương 2, "Of Plato"
^ Chronology for 30000 BC to tướng 500 BC. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Truy cập 03-05-2013.
^ Squaring the circle. History.mcs.st-andrews.ac.uk. Trụy cập 03-05-2013.
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (ấn bạn dạng 2), Addison Wesley Longman, tr. 108, ISBN 978-0-321-01618-8
^ Harkness, James (1898). Introduction to tướng the theory of analytic functions. London, New York: Macmillan and Co. tr. 30. Bản gốc tàng trữ ngày 7 mon 3 năm 2009. Truy cập ngày trăng tròn mon 12 năm 2017.
^ Ogilvy, C. Stanley, Excursions in Geometry, Dover, 1969, 14–17.
^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
^ Incircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-21 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
^ Circumcircle – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2012-01-20 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.
^ Tangential Polygon – from Wolfram MathWorld Lưu trữ 2013-09-03 bên trên Wayback Machine. Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). Truy cập 2012-05-03.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

Wikimedia Commons đạt thêm hình hình họa và phương tiện đi lại truyền đạt về Đường tròn.

Các chủ thể chủ yếu vô toán học
Nền tảng toán học tập \| Đại số \| Giải tích \| Hình học tập \| Lý thuyết số \| Toán học tập tách rộc rạc \| Toán học tập phần mềm \| Toán học tập vui chơi \| Toán học tập tô pô \| Xác suất thống kê

đường tròn là gì