đạo hàm phân thức

Để tính đạo hàm của hàm phân thức hữu tỉ thì chúng ta dùng công cộng một công thức:

$\left(\dfrac{u}{v}\right)’=\dfrac{u’.v-u.v’}{v^2}$

Bạn đang xem: đạo hàm phân thức

Một số dạng quan trọng của hàm phân thức:

$ \left (\dfrac{1}{x}\right)’=\dfrac{-1}{x^2}$; $ \left (\dfrac{1}{u}\right)’=\dfrac{-u’}{u^2}$

Tuy nhiên cũng có thể có một trong những hàm phân thức tất cả chúng ta rất có thể dùng những công thức tính đạo hàm thời gian nhanh. Thầy tiếp tục phát biểu ví dụ vào cụ thể từng dạng bên dưới nhé.

Các em coi tăng bài xích giảng:

• Cách tính đạo hàm của hàm căn thức
• Cách tính đạo hàm của hàm số hợp
• Cách tính đạo hàm của nồng độ giác
• Cách tính đạo hàm của hàm số logarit

1. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 1/ bậc 1

$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

Công thức tính thời gian nhanh đạo hàm: $y’=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{2x+3}{4x+2}$
b. $y=\dfrac{-x-2}{2x+5}$

Hướng dẫn:

a. $y=\dfrac{2x+3}{4x+2}$

=> $y’=\dfrac{(2x+3)’.(4x+2)-(2x+3).(4x+2)’}{(4x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{2(2x+2)-(2x+3).4}{(4x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{8x+4-8x-12}{(4x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{-8}{(4x+2)^2}$

Sử dụng công thức tính thời gian nhanh đạo hàm:

$y’=\dfrac{2.2-3.4}{(4x+2)^2}$ => $y’=\dfrac{-8}{(4x+2)^2}$

b. $y=\dfrac{-x-2}{2x+5}$

=> $y’=\dfrac{(-x-2)’.(2x+5)-(-x-2)(2x+5)’}{(2x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{-1.(2x+5)-(-x-2).2}{(2x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{-2x-5+2x+4}{(2x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{-1}{(2x+5)^2}$

Sử dụng công thức thời gian nhanh tính đạo hàm:

$y= \dfrac{-x-2}{2x+5}$ => $y’=\dfrac{(-1).5-(-2).2}{(2x+5)^2}=\dfrac{-5+4}{(2x+5)^2}=\dfrac{-1}{(2x+5)^2}$

2. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 1

$y=\dfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}$

Công thức tính thời gian nhanh đạo hàm: $y=\dfrac{adx^2+2aex+be-cd}{(dx+e)^2}$

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{x^2+2x+3}{4x+5}$
b. $y=\dfrac{2x^2+3x-4}{-5x+6}$

Hướng dẫn:

a. $y’=\dfrac{(x^2+2x+3)’.(4x+5)-(x^2+2x+3)(4x+5)’}{(4x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{(2x+2).(4x+5)-(x^2+2x+3).4}{(4x+5)^2}$

Xem thêm: cucl2 có kết tủa không

=> $y’=\dfrac{8x^2+18x+10-4x^2-8x-12}{(4x+5)^2}$

=> $y’=\dfrac{4x^2+10x-2}{(4x+5)^2}$

Sử dụng công thức giải thời gian nhanh đạo hàm:

$y’=\dfrac{1.4x^2+2.1.5x+2.5-3.4}{(4x+5)^2}=\dfrac{4x^2+10x-2}{(4x+5)^2}$

b. $y’=\dfrac{(2x^2+3x-4)’.(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5x+6)’}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{(4x+3).(-5x+6)-(2x^2+3x-4).(-5)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{-20x^2+9x+18-(-10x^2-15x+20)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{-20x^2+9x+18+10x^2+15x-20)}{(-5x+6)^2}$

=> $y’=\dfrac{-10x^2+24x-2}{(-5x+6)^2}$

Sử dụng công thức tính thời gian nhanh đạo hàm:

$y’=\dfrac{2.(-5)x^2+2.2.6x+3.6-(-4)(-5)}{(-5x+6)^2}=\dfrac{-10x^2+24x-2}{(-5x+6)^2}$

3. Đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

$y=\dfrac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}$

Công thức tính thời gian nhanh đạo hàm của hàm phân thức bậc 2/ bậc 2

=> $y’=\dfrac{(a_1b_2-a_2b_1)x^2+2(a_1c_2-a_2c_1)x+b_1c_2-b_2c_1}{(a_2x^2+b_2x+c_2)^2}$

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số sau:
a. $y=\dfrac{x^2+x-2}{-x^2+3x+2}$

Ta có:

$y’=\dfrac{(x^2+x-2)’.(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-x^2+3x+2)’}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{(2x+1).(-x^2+3x+2)-(x^2+x-2).(-2x+3)}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{-2x^3+6x^2+4x-x^2+3x+2+2x^3-3x^2+2x^2-3x-4x+6}{(-x^2+3x+2)^2}$

=> $y’=\dfrac{4x^2+8}{(-x^2+3x+2)^2}$

Sử dụng công thức tính thời gian nhanh đạo hàm:

$y’=\dfrac{[1.3-1.(-1)]x^2+2[1.2-(-2)(-1)]x+[1.2-(-2).3]}{ (-x^2+3x+2)^2 }$

=> $y’=\dfrac{4x^2+8}{(-x^2+3x+2)^2}$

4. Một số tình huống quan trọng Khi tính đạo hàm của hàm phân thức

Ví dụ 4: Tính đạo hàm những hàm số sau:
a. $y=\dfrac{2}{x^2-2x+3}$
b. $y=\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)^3$

Hướng dẫn:

a. $y’=\dfrac{-2.(x^2-2x+3)’}{(x^2-2x+3)^2}=\dfrac{-2(2x-2)}{(x^2-2x+3)^2}$

b. $y’=3.\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)^2\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)’= 3.\left(\dfrac{x+2}{3x-1}\right)^2.\dfrac{-7}{(3x-1)^2} $

Xem thêm: 12 tuổi học lớp mấy

(ý này chúng ta vận dụng công thức đạo hàm $u^{\alpha}=\alpha.u^{\alpha-1}.u’$ nhé)

Bài giảng bên trên cũng rất cụ thể và khá đầy đủ về những dạng toán tính đạo hàm của một trong những hàm phân thức hữu tỉ. Nói bọn chúng nhằm tính được đạo hàm dạng này thì chúng ta chỉ việc dùng công cộng có một không hai một công thức $(\dfrac{u}{v})’$ là rất có thể tính tự do rồi. Nếu chúng ta nhận thêm công thức tính này hoặc thì nên share bên dưới sườn phản hồi nhé.